Bentuk Kuadratik: Pemahaman Mendalam dan Aplikasi Luas

Pendahuluan

Dalam dunia matematika, khususnya aljabar linear dan kalkulus multivariabel, konsep bentuk kuadratik memainkan peran sentral yang sangat signifikan. Bentuk kuadratik adalah jenis fungsi polinomial khusus yang melibatkan variabel-variabel berpangkat dua dan hasil kali antara variabel-variabel tersebut, tanpa melibatkan suku-suku linear atau konstanta. Meskipun definisinya tampak sederhana, implikasinya sangat luas, menyentuh berbagai bidang ilmu mulai dari geometri analitik, optimisasi, fisika, statistik, hingga pembelajaran mesin dan ekonomi.

Sejarah bentuk kuadratik dapat ditelusuri kembali ke abad ke-18 dan ke-19, ketika para matematikawan seperti Lagrange, Gauss, dan Sylvester mulai menyelidiki sifat-sifatnya dalam konteks teori bilangan dan geometri. Mereka menemukan bahwa bentuk kuadratik sangat berguna untuk mengklasifikasikan irisan kerucut dan permukaan kuadratik, serta memahami sifat-sifat matriks simetris dan transformasi ortogonal. Intinya, bentuk kuadratik memberikan kerangka kerja yang elegan untuk menganalisis "bentuk" dan "orientasi" geometris, serta untuk memahami perilaku fungsi multivariabel di sekitar titik-titik kritis.

Artikel ini akan membawa kita dalam perjalanan komprehensif untuk memahami bentuk kuadratik. Kita akan memulai dengan definisi formal dan representasi matriksnya, mengeksplorasi sifat-sifat fundamentalnya, dan kemudian mendalami klasifikasi penting yang dikenal sebagai definitness. Proses diagonalisasi, yang merupakan inti dari banyak aplikasi bentuk kuadratik, juga akan dibahas secara rinci. Akhirnya, kita akan melihat bagaimana konsep-konsep ini diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, menunjukkan relevansi dan kekuatan analitis bentuk kuadratik di dunia nyata. Dengan pemahaman yang mendalam tentang bentuk kuadratik, kita dapat membuka pintu menuju solusi masalah yang kompleks dan wawasan baru dalam penelitian ilmiah dan rekayasa.

Apa Itu Bentuk Kuadratik?

Definisi Formal

Secara formal, bentuk kuadratik adalah fungsi Q dari ruang vektor V (biasanya Rⁿ) ke R, yang dapat dinyatakan sebagai polinomial homogen derajat dua. Untuk ruang vektor riil Rⁿ, bentuk kuadratik Q(x) dari vektor x = (x_1, x_2, ..., x_n)^T diberikan oleh:

Q(x) = Σᵢ Σⱼ aᵢⱼ xᵢ xⱼ

di mana aᵢⱼ adalah koefisien skalar. Perhatikan bahwa setiap suku dalam penjumlahan ini adalah produk dari dua variabel (bisa sama atau berbeda), sehingga total pangkatnya adalah dua. Tidak ada suku linear (xᵢ) atau suku konstan.

Representasi Matriks

Salah satu aspek paling kuat dari bentuk kuadratik adalah kemampuannya untuk direpresentasikan menggunakan notasi matriks. Setiap bentuk kuadratik Q(x) dapat secara unik diwakili oleh sebuah matriks simetris A. Jika x adalah vektor kolom n x 1, maka bentuk kuadratik dapat ditulis sebagai:

Q(x) = xTAx

di mana A adalah matriks simetris n x n dengan entri A = (aᵢⱼ). Mengapa matriks simetris? Jika kita memiliki koefisien aᵢⱼ dan aⱼᵢ untuk suku xᵢxⱼ dan xⱼxᵢ, kita bisa menggabungkannya. Dengan memilih matriks A sedemikian rupa sehingga entri diagonalnya adalah koefisien dari xᵢ² dan entri non-diagonalnya dibagi rata antara xᵢxⱼ dan xⱼxᵢ, yaitu Aᵢⱼ = (aᵢⱼ + aⱼᵢ) / 2, kita mendapatkan matriks simetris yang unik.

Contoh 1: Bentuk Kuadratik 2 Variabel

Pertimbangkan bentuk kuadratik dalam dua variabel x = (x_1, x_2)^T:

Q(x_1, x_2) = 3x_1² + 2x_1x_2 + 5x_2²

Untuk mengubahnya ke dalam bentuk matriks x^TAx, kita perlu menemukan matriks simetris A. Koefisien x_1² adalah 3, jadi A₁₁ = 3. Koefisien x_2² adalah 5, jadi A₂₂ = 5. Koefisien x_1x_2 adalah 2. Karena A harus simetris, kita membagi koefisien ini secara rata antara A₁₂ dan A₂₁. Jadi, A₁₂ = A₂₁ = 2/2 = 1.

Maka matriks A adalah:

A = | 3  1 |
    | 1  5 |

Kita bisa memverifikasi ini:

xTAx = [x_1  x_2] | 3  1 | [x_1]
                      | 1  5 | [x_2]

                 = [x_1  x_2] [3x_1 + x_2]
                             [x_1 + 5x_2]

                 = x_1(3x_1 + x_2) + x_2(x_1 + 5x_2)
                 = 3x_1² + x_1x_2 + x_1x_2 + 5x_2²
                 = 3x_1² + 2x_1x_2 + 5x_2²

Ini sesuai dengan bentuk kuadratik aslinya.

Contoh 2: Bentuk Kuadratik 3 Variabel

Misalkan kita memiliki Q(x_1, x_2, x_3) = 2x_1² - 4x_2² + x_3² + 6x_1x_2 - 2x_2x_3 + 8x_1x_3.

Matriks A akan menjadi 3 x 3:

• Diagonal: A₁₁ = 2, A₂₂ = -4, A₃₃ = 1.
• Non-diagonal (simetris):
  • x_1x_2 memiliki koefisien 6, jadi A₁₂ = A₂₁ = 6/2 = 3.
  • x_2x_3 memiliki koefisien -2, jadi A₂₃ = A₃₁ = -2/2 = -1.
  • x_1x_3 memiliki koefisien 8, jadi A₁₃ = A₃₁ = 8/2 = 4.

Maka matriks A adalah:

A = | 2  3  4 |
    | 3 -4 -1 |
    | 4 -1  1 |

Representasi matriks ini sangat penting karena memungkinkan kita menggunakan alat-alat canggih dari aljabar linear, seperti nilai eigen dan vektor eigen, untuk menganalisis sifat-sifat bentuk kuadratik.

Sifat-sifat Bentuk Kuadratik

Bentuk kuadratik memiliki beberapa sifat fundamental yang menjadikannya objek studi yang menarik dan aplikatif:

1. Homogenitas Derajat Dua

Ini adalah sifat yang paling mendasar. Bentuk kuadratik selalu merupakan fungsi homogen derajat dua. Artinya, jika kita mengalikan vektor x dengan skalar c, nilai bentuk kuadratik akan diskalakan oleh c²:

Q(cx) = (cx)TA(cx) = cTxTAcx = c²xTAx = c²Q(x)

Sifat ini menunjukkan mengapa bentuk kuadratik tidak memiliki suku linear atau konstanta, karena suku-suku tersebut tidak akan mematuhi aturan penskalaan c².

2. Hubungan dengan Bentuk Bilinear Simetris

Setiap bentuk kuadratik Q(x) dapat dikaitkan dengan sebuah bentuk bilinear simetris B(x, y). Bentuk bilinear adalah fungsi dari dua vektor yang linear terhadap setiap argumennya secara terpisah. Bentuk bilinear simetris B(x, y) terkait dengan Q(x) = x^TAx adalah:

B(x, y) = xTAy

Dan kita dapat memulihkan bentuk kuadratik dari bentuk bilinear simetris dengan mengatur y = x, yaitu Q(x) = B(x, x). Sebaliknya, bentuk bilinear simetris dapat diperoleh dari bentuk kuadratik melalui identitas polarisasi:

B(x, y) = 1/2 [Q(x + y) - Q(x) - Q(y)]

Hubungan ini penting karena menghubungkan bentuk kuadratik dengan konsep-konsep seperti produk dalam (inner product) dan ortogonalitas, terutama ketika matriks A adalah matriks identitas.

3. Keunikan Matriks Simetris

Seperti yang telah kita bahas, untuk setiap bentuk kuadratik Q(x), ada sebuah matriks simetris A yang unik sehingga Q(x) = x^TAx. Keunikan ini sangat memudahkan analisis karena kita dapat fokus pada properti matriks A untuk memahami perilaku Q(x).

4. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Karena bentuk kuadratik dikaitkan dengan matriks simetris, nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tersebut menjadi sangat relevan. Matriks simetris memiliki nilai eigen riil dan vektor eigen yang ortogonal. Ini adalah kunci untuk proses diagonalisasi bentuk kuadratik, yang akan kita bahas nanti.

5. Geometri

Bentuk kuadratik memiliki interpretasi geometris yang kaya. Di R², persamaan Q(x) = c (untuk konstanta c) menggambarkan irisan kerucut (elips, hiperbola, parabola). Di R³, ini menggambarkan permukaan kuadratik (elipsoid, hiperboloid, paraboloid). Tanda dan magnitudo nilai eigen matriks A sangat menentukan "bentuk" dari permukaan ini.

Klasifikasi Bentuk Kuadratik (Definitness)

Salah satu aspek terpenting dari bentuk kuadratik adalah klasifikasinya berdasarkan tanda nilai yang dihasilkannya. Klasifikasi ini, yang disebut "definitness," sangat krusial dalam bidang optimisasi, stabilitas sistem, dan analisis sifat-sifat matriks. Klasifikasi ini didasarkan pada apakah Q(x) selalu positif, selalu negatif, atau bisa keduanya, untuk semua vektor x ≠ 0.

Untuk memahami klasifikasi ini, kita perlu ingat bahwa bentuk kuadratik Q(x) = x^TAx. Tanda dari Q(x) sangat bergantung pada tanda nilai-nilai eigen dari matriks simetris A yang terkait.

1. Definit Positif

Bentuk kuadratik Q(x) dikatakan definit positif jika Q(x) > 0 untuk semua vektor x ≠ 0. Secara geometris, ini berarti permukaan yang dihasilkan oleh Q(x) = c akan menyerupai cekungan yang terbuka ke atas (seperti paraboloid eliptik), dengan titik minimum global unik di x = 0.

• Kriteria Nilai Eigen: Matriks A adalah definit positif jika dan hanya jika semua nilai eigennya λᵢ > 0.
• Kriteria Minor Utama (Sylvester's Criterion): Matriks simetris A adalah definit positif jika dan hanya jika semua minor utama terdepan (leading principal minors) adalah positif. Minor utama terdepan k adalah determinan dari submatriks k x k yang dibentuk dari k baris dan k kolom pertama dari A.

Contoh: Q(x_1, x_2) = x_1² + x_2². Nilai eigen matriks identitas adalah 1 dan 1 (keduanya > 0). Permukaan ini adalah paraboloid yang terbuka ke atas.

2. Definit Negatif

Bentuk kuadratik Q(x) dikatakan definit negatif jika Q(x) < 0 untuk semua vektor x ≠ 0. Secara geometris, ini berarti permukaannya menyerupai cekungan yang terbuka ke bawah, dengan titik maksimum global unik di x = 0.

• Kriteria Nilai Eigen: Matriks A adalah definit negatif jika dan hanya jika semua nilai eigennya λᵢ < 0.
• Kriteria Minor Utama: Matriks simetris A adalah definit negatif jika dan hanya jika minor utama terdepan bergantian tanda, dimulai dengan negatif. Yaitu, det(A_1) < 0, det(A_2) > 0, det(A_3) < 0, dst.

Contoh: Q(x_1, x_2) = -x_1² - x_2². Nilai eigen adalah -1 dan -1 (keduanya < 0).

3. Semidefinit Positif

Bentuk kuadratik Q(x) dikatakan semidefinit positif jika Q(x) ≥ 0 untuk semua x, dan ada x ≠ 0 sehingga Q(x) = 0. Secara geometris, ini berarti permukaannya cekung ke atas, tetapi mungkin memiliki "lembah" datar di mana Q(x) = 0.

• Kriteria Nilai Eigen: Matriks A adalah semidefinit positif jika dan hanya jika semua nilai eigennya λᵢ ≥ 0, dan setidaknya satu nilai eigen adalah nol.

Contoh: Q(x_1, x_2) = (x_1 + x_2)² = x_1² + 2x_1x_2 + x_2². Jika x_1 = 1, x_2 = -1, maka Q(x) = 0. Matriksnya adalah | 1 1 | | 1 1 | dengan nilai eigen 2 dan 0.

4. Semidefinit Negatif

Bentuk kuadratik Q(x) dikatakan semidefinit negatif jika Q(x) ≤ 0 untuk semua x, dan ada x ≠ 0 sehingga Q(x) = 0. Secara geometris, ini berarti permukaannya cekung ke bawah, tetapi mungkin memiliki "puncak" datar di mana Q(x) = 0.

• Kriteria Nilai Eigen: Matriks A adalah semidefinit negatif jika dan hanya jika semua nilai eigennya λᵢ ≤ 0, dan setidaknya satu nilai eigen adalah nol.

Contoh: Q(x_1, x_2) = -(x_1 + x_2)².

5. Indefinit

Bentuk kuadratik Q(x) dikatakan indefinit jika ia menghasilkan nilai positif untuk beberapa x dan nilai negatif untuk beberapa y. Secara geometris, ini berarti permukaannya memiliki bentuk "pelana" (saddle point), di mana ia cekung ke atas di satu arah dan cekung ke bawah di arah lain. Ini adalah karakteristik dari titik pelana dalam optimisasi.

• Kriteria Nilai Eigen: Matriks A adalah indefinit jika dan hanya jika ia memiliki setidaknya satu nilai eigen positif dan setidaknya satu nilai eigen negatif.

Contoh: Q(x_1, x_2) = x_1² - x_2². Untuk x = (1, 0)^T, Q(x) = 1 > 0. Untuk x = (0, 1)^T, Q(x) = -1 < 0. Nilai eigen matriksnya adalah 1 dan -1.

Pentingnya Klasifikasi

Klasifikasi ini sangat penting dalam berbagai aplikasi. Misalnya, dalam optimisasi tanpa kendala, kondisi orde kedua untuk suatu titik stasioner (titik di mana gradien nol) bergantung pada definitness dari matriks Hessian (matriks turunan parsial kedua) pada titik tersebut. Jika Hessian definit positif, titik tersebut adalah minimum lokal. Jika definit negatif, itu adalah maksimum lokal. Jika indefinit, itu adalah titik pelana. Semidefinit menunjukkan kasus yang lebih degeneratif dan memerlukan analisis lebih lanjut.

Diagonalisasi Bentuk Kuadratik

Salah satu hasil paling penting dalam teori bentuk kuadratik adalah bahwa setiap bentuk kuadratik dapat disederhanakan melalui perubahan koordinat menjadi bentuk tanpa suku silang (xᵢxⱼ untuk i ≠ j). Proses ini disebut diagonalisasi bentuk kuadratik, dan ini secara fundamental didasarkan pada diagonalisasi matriks simetris terkait.

Tujuan diagonalisasi adalah untuk menemukan transformasi linear ortogonal x = Py sedemikian rupa sehingga, dalam koordinat baru y, bentuk kuadratik hanya terdiri dari suku-suku kuadratik yᵢ², yaitu:

Q(y) = λ_1 y_1² + λ_2 y_2² + ... + λ_n y_n²

di mana λᵢ adalah nilai-nilai eigen dari matriks A yang terkait dengan bentuk kuadratik Q(x).

Teorema Spektral untuk Matriks Simetris

Inti dari diagonalisasi bentuk kuadratik terletak pada Teorema Spektral. Teorema ini menyatakan bahwa setiap matriks simetris riil A dapat didiagonalisasi secara ortogonal. Artinya, ada matriks ortogonal P dan matriks diagonal D sedemikian rupa sehingga:

A = PDPT

Di sini, kolom-kolom matriks P adalah vektor-vektor eigen ortonormal dari A, dan matriks diagonal D memiliki nilai-nilai eigen A pada diagonal utamanya.

Langkah-langkah Diagonalisasi

Misalkan kita memiliki bentuk kuadratik Q(x) = x^TAx.

1. Temukan Matriks Simetris A: Ubah bentuk kuadratik Q(x) menjadi bentuk matriksnya.
2. Hitung Nilai Eigen dari A: Selesaikan persamaan karakteristik det(A - λI) = 0 untuk menemukan nilai-nilai eigen λ₁, λ₂, ..., λ_n.
3. Hitung Vektor Eigen dari A: Untuk setiap nilai eigen λᵢ, temukan vektor eigen yang sesuai dengan menyelesaikan (A - λᵢI)vᵢ = 0.
4. Normalisasi Vektor Eigen: Ubah setiap vektor eigen menjadi vektor satuan (normalisasi) dan pastikan mereka ortogonal (jika ada nilai eigen berulang, gunakan Gram-Schmidt jika perlu, meskipun untuk matriks simetris, vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen yang berbeda sudah ortogonal).
5. Bentuk Matriks Transformasi P: Susun vektor-vektor eigen ortonormal ini sebagai kolom-kolom matriks P. Matriks P adalah matriks ortogonal, artinya P^T = P⁻¹.
6. Lakukan Transformasi Koordinat: Definisikan transformasi x = Py. Dengan substitusi ini, bentuk kuadratik menjadi:

   Q(x) = xTAx = (Py)TA(Py) = yTPTAPy

   Karena A = PDP^T, maka P^TAP = D.

   Q(y) = yTDy = λ_1 y_1² + λ_2 y_2² + ... + λ_n y_n²

Dalam sistem koordinat y, yang disebut sebagai koordinat utama, bentuk kuadratik hanya memiliki suku-suku kuadratik, dan koefisiennya adalah nilai-nilai eigen dari matriks A. Arah-arah sumbu dalam sistem koordinat y ditentukan oleh vektor-vektor eigen.

Hukum Inersia Sylvester

Konsep yang sangat penting terkait diagonalisasi adalah Hukum Inersia Sylvester. Teorema ini menyatakan bahwa, meskipun ada banyak pilihan matriks ortogonal P untuk diagonalisasi, jumlah nilai eigen positif, jumlah nilai eigen negatif, dan jumlah nilai eigen nol (disebut indeks positif, indeks negatif, dan nulitas) dari matriks simetris A selalu invarian. Ini berarti bahwa, terlepas dari transformasi ortogonal apa yang digunakan, "tanda" dari bentuk kuadratik tetap sama. Klasifikasi definitness bentuk kuadratik sebenarnya merupakan aplikasi langsung dari hukum inersia ini.

Signifikansi Diagonalisasi

Diagonalisasi memiliki signifikansi yang luar biasa:

• Penyederhanaan Analisis: Bentuk diagonal jauh lebih mudah untuk dianalisis dan dipahami karena tidak ada interaksi antara variabel-variabelnya.
• Interpretasi Geometris: Nilai-nilai eigen menentukan panjang sumbu utama irisan kerucut atau permukaan kuadratik, sedangkan vektor-vektor eigen menentukan orientasi sumbu-sumbu ini.
• Aplikasi Optimisasi: Dalam optimisasi, diagonalisasi membantu menentukan apakah sebuah titik kritis adalah minimum, maksimum, atau titik pelana.
• Reduksi Dimensi: Dalam analisis data, seperti Principal Component Analysis (PCA), diagonalisasi matriks kovarians (yang merupakan bentuk kuadratik) menghasilkan komponen utama yang menggambarkan arah varians terbesar dalam data.

Penerapan Bentuk Kuadratik

Bentuk kuadratik adalah alat matematis yang sangat serbaguna dengan aplikasi yang luas di berbagai disiplin ilmu. Kemampuannya untuk menangkap "bentuk" dan "orientasi" dalam ruang multivariabel membuatnya sangat berharga.

1. Geometri Analitik

Ini adalah salah satu aplikasi historis dan paling intuitif dari bentuk kuadratik.

• Irisan Kerucut (di R²): Persamaan umum irisan kerucut seperti elips, hiperbola, dan parabola dapat dinyatakan sebagai bentuk kuadratik ditambah suku linear dan konstanta. Bagian kuadratiknya Ax² + Bxy + Cy² menentukan jenis irisan kerucut dan orientasinya. Dengan diagonalisasi, kita dapat menghilangkan suku Bxy dan mengidentifikasi sumbu utama irisan kerucut tersebut.

  Q(x,y) = Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

  Klasifikasi definitness dari bagian kuadratik Ax² + Bxy + Cy² (matriks Hessiannya) akan memberi tahu apakah itu elips (definite), hiperbola (indefinite), atau parabola (semidefinite).
• Permukaan Kuadratik (di R³): Konsep ini diperluas ke tiga dimensi untuk menggambarkan permukaan seperti elipsoid, hiperboloid, paraboloid, dan kerucut. Persamaan umum adalah Q(x,y,z) = Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0. Matriks simetris dari bagian kuadratik akan membantu mengklasifikasikan jenis permukaan dan menentukan orientasi sumbu-sumbu simetrinya.

2. Optimisasi

Dalam optimisasi, bentuk kuadratik sangat penting untuk analisis kondisi orde kedua.

• Kondisi Orde Kedua: Untuk fungsi multivariabel f(x), titik-titik stasioner (di mana gradien adalah nol) dapat diklasifikasikan sebagai minimum lokal, maksimum lokal, atau titik pelana dengan memeriksa matriks Hessian H dari f(x) pada titik tersebut. Matriks Hessian adalah matriks simetris yang terdiri dari turunan parsial kedua, dan bentuk kuadratik x^THx menentukan kelengkungan fungsi.
  • Jika H definit positif, maka titik stasioner adalah minimum lokal.
  • Jika H definit negatif, maka titik stasioner adalah maksimum lokal.
  • Jika H indefinit, maka titik stasioner adalah titik pelana.
  Ini adalah fundamental dalam algoritma optimisasi seperti metode Newton.
• Permasalahan Kuadratik: Banyak masalah optimisasi, terutama dalam konteks regresi dan pembelajaran mesin, dapat diformulasikan sebagai minimisasi bentuk kuadratik, seringkali dengan kendala linear. Contohnya adalah min 1/2 x^TAx + b^Tx.

3. Fisika dan Rekayasa

Bentuk kuadratik muncul secara alami dalam banyak deskripsi fisik dan rekayasa.

• Energi Kinetik: Dalam mekanika klasik, energi kinetik sistem partikel dapat diekspresikan sebagai bentuk kuadratik dari kecepatan. Untuk sistem dengan massa berbeda dan mungkin terkopel, ini menjadi 1/2 v^TMv, di mana M adalah matriks massa yang simetris.
• Energi Potensial: Energi potensial osilator harmonik multidimensional atau deformasi elastis bahan seringkali merupakan bentuk kuadratik dari perpindahan dari posisi setimbang.
• Momen Inersia: Tensor momen inersia dalam mekanika benda tegar adalah matriks simetris, dan momen inersia suatu benda terhadap sumbu rotasi tertentu adalah bentuk kuadratik dari vektor arah sumbu tersebut. Diagonalisasi tensor momen inersia mengungkapkan sumbu-sumbu utama inersia.
• Analisis Getaran: Dalam sistem mekanik yang bergetar, persamaan gerak sering melibatkan matriks massa, redaman, dan kekakuan, yang semuanya dapat memunculkan bentuk kuadratik dalam analisis energi dan frekuensi natural.
• Teori Elastisitas: Energi regangan dalam bahan elastis linear adalah bentuk kuadratik dari tensor regangan.

4. Statistik dan Pembelajaran Mesin

Dalam analisis data dan algoritma pembelajaran mesin, bentuk kuadratik sangat fundamental.

• Analisis Komponen Utama (PCA): PCA adalah teknik reduksi dimensi yang digunakan untuk mengubah sekumpulan variabel yang mungkin berkorelasi menjadi sekumpulan variabel baru yang tidak berkorelasi, yang disebut komponen utama. Ini dicapai dengan melakukan diagonalisasi matriks kovarians (atau matriks korelasi) dari data. Matriks kovarians adalah matriks simetris, dan diagonalisasinya menghasilkan nilai eigen (varians dari komponen utama) dan vektor eigen (arah komponen utama), yang esensinya adalah mencari basis baru yang mengoptimalkan varians data, yang dapat dilihat sebagai bentuk kuadratik.
• Regresi Kuadratik: Ketika hubungan antara variabel dependen dan independen diperkirakan paling baik oleh kurva non-linear, model regresi kuadratik digunakan. Fungsi biaya (misalnya, kuadrat terkecil) seringkali berakhir sebagai bentuk kuadratik dari parameter model.
• Distribusi Gaussian Multivariabel: Fungsi kepadatan probabilitas distribusi Gaussian multivariabel mengandung bentuk kuadratik dalam eksponennya: exp(-(x - μ)^TΣ⁻¹(x - μ)/2), di mana Σ adalah matriks kovarians (simetris definit positif). Bentuk kuadratik ini mendefinisikan bentuk elips dari kontur probabilitas.
• Machine Learning: Banyak algoritma, seperti Support Vector Machines (SVM) dengan kernel polinomial atau metode regularisasi seperti Ridge Regression dan Lasso, memanfaatkan atau menghasilkan bentuk kuadratik dalam formulasi masalah optimisasi internalnya.

5. Ekonomi

Bentuk kuadratik juga relevan dalam model-model ekonomi.

• Fungsi Utilitas dan Produksi: Dalam mikroekonomi, fungsi utilitas dan produksi sering kali dimodelkan sebagai fungsi kuadratik untuk menganalisis efek skala, penggantian, dan elastisitas.
• Optimasi Portofolio: Dalam teori keuangan modern (Modern Portfolio Theory), risiko portofolio (varians portofolio) adalah bentuk kuadratik dari bobot aset dan matriks kovarians aset. Diagonalisasi matriks kovarians dapat membantu mengidentifikasi portofolio efisien yang memaksimalkan return untuk tingkat risiko tertentu.
• Ekonometrika: Beberapa model ekonometrik yang kompleks menggunakan bentuk kuadratik untuk mengestimasi parameter atau menguji hipotesis.

Contoh Studi Kasus: Mengklasifikasikan dan Mendiagonalisasi

Kasus 1: Klasifikasi Bentuk Kuadratik 2 Variabel

Mari kita klasifikasikan bentuk kuadratik Q(x_1, x_2) = 2x_1² + 2x_1x_2 + 3x_2².

Langkah 1: Temukan Matriks A.

A = | 2  1 |
    | 1  3 |

Langkah 2: Gunakan Kriteria Minor Utama.

• Minor utama terdepan pertama: det(A_1) = det(|2|) = 2. Ini positif.
• Minor utama terdepan kedua: det(A_2) = det(A) = (2 * 3) - (1 * 1) = 6 - 1 = 5. Ini juga positif.

Karena kedua minor utama terdepan positif, matriks A (dan dengan demikian bentuk kuadratik Q(x)) adalah definit positif. Ini berarti Q(x) > 0 untuk semua x ≠ 0, dan permukaan Q(x) = c akan menjadi elips atau paraboloid eliptik yang terbuka ke atas.

Kasus 2: Diagonalisasi Bentuk Kuadratik

Mari kita diagonalisasi bentuk kuadratik Q(x_1, x_2) = 3x_1² + 2x_1x_2 + 3x_2².

Langkah 1: Temukan Matriks A.

A = | 3  1 |
    | 1  3 |

Langkah 2: Hitung Nilai Eigen. Kita selesaikan det(A - λI) = 0:

det | 3-λ  1   | = 0
    | 1    3-λ |

(3 - λ)(3 - λ) - 1*1 = 0
(3 - λ)² - 1 = 0
9 - 6λ + λ² - 1 = 0
λ² - 6λ + 8 = 0
(λ - 2)(λ - 4) = 0

Jadi, nilai-nilai eigen adalah λ₁ = 2 dan λ₂ = 4.

Langkah 3: Hitung Vektor Eigen.

• Untuk λ₁ = 2:

  (A - 2I)v = 0
  | 1  1 | |v₁| = |0|
  | 1  1 | |v₂|   |0|

  Ini memberikan v₁ + v₂ = 0, jadi v₁ = -v₂. Vektor eigen adalah kelipatan dari | -1 | | 1 |. Normalisasi: u₁ = (1/√2) | -1 | (1/√2) | 1 |.
• Untuk λ₂ = 4:

  (A - 4I)v = 0
  | -1  1 | |v₁| = |0|
  | 1  -1 | |v₂|   |0|

  Ini memberikan -v₁ + v₂ = 0, jadi v₁ = v₂. Vektor eigen adalah kelipatan dari | 1 | | 1 |. Normalisasi: u₂ = (1/√2) | 1 | (1/√2) | 1 |.

Langkah 4: Bentuk Matriks Transformasi P.

P = (1/√2) | -1  1 |
           |  1  1 |

Langkah 5: Bentuk Kuadratik dalam Koordinat Utama. Transformasi adalah x = Py. Maka bentuk kuadratik dalam koordinat y = (y_1, y_2)^T adalah:

Q(y_1, y_2) = λ₁y₁² + λ₂y₂² = 2y₁² + 4y₂²

Ini adalah bentuk kuadratik yang terdiagonalisasi. Sumbu-sumbu utama bentuk geometris yang dihasilkan oleh Q(x) = c sekarang sejajar dengan sumbu y₁ dan y₂, yang arahnya ditentukan oleh vektor-vektor eigen u₁ dan u₂. Bentuk ini menggambarkan elips yang terotasi di sistem koordinat x, tetapi elips yang sumbunya sejajar di sistem koordinat y.

Kesimpulan

Bentuk kuadratik adalah konsep fundamental yang menjembatani aljabar linear dan geometri, memberikan wawasan mendalam tentang struktur fungsi multivariabel dan sifat-sifat ruang vektor. Dari definisi formalnya sebagai polinomial homogen derajat dua hingga representasi matriksnya yang elegan, bentuk kuadratik memungkinkan kita untuk menggunakan alat-alat canggih seperti nilai eigen dan vektor eigen untuk analisis yang komprehensif.

Klasifikasi bentuk kuadratik berdasarkan "definitness" — definit positif, definit negatif, semidefinit, atau indefinit — memiliki implikasi praktis yang luas, terutama dalam menentukan sifat titik ekstrem dalam masalah optimisasi dan memahami stabilitas sistem. Kemampuan untuk mendiagonalisasi bentuk kuadratik melalui transformasi ortogonal tidak hanya menyederhanakan ekspresi matematisnya tetapi juga mengungkapkan sumbu-sumbu utama geometris dan sifat intrinsik dari matriks terkait. Proses ini adalah inti dari Hukum Inersia Sylvester, yang menjamin bahwa karakteristik fundamental dari bentuk kuadratik tetap invarian di bawah perubahan koordinat.

Penerapan bentuk kuadratik mencakup spektrum yang sangat luas, membuktikan relevansinya dalam berbagai disiplin ilmu: dari menggambarkan irisan kerucut dan permukaan kuadratik di geometri analitik, hingga mengklasifikasikan titik kritis dalam optimisasi, menganalisis energi dan momen inersia dalam fisika dan rekayasa, hingga reduksi dimensi dalam Principal Component Analysis (PCA) dan pemodelan distribusi Gaussian multivariabel dalam statistik dan pembelajaran mesin, serta optimasi portofolio di bidang ekonomi.

Melalui pemahaman yang kokoh tentang bentuk kuadratik, kita memperoleh alat analitis yang kuat untuk tidak hanya memahami struktur matematis yang kompleks tetapi juga untuk memecahkan masalah-masalah praktis yang menantang di dunia nyata. Ini menegaskan kembali peran matematika sebagai bahasa universal yang mendasari banyak fenomena alam dan rekayasa, menawarkan kejelasan dan presisi dalam menghadapi kompleksitas.