Bidang geometri klasik, khususnya geometri segitiga, dipenuhi oleh interaksi elegan antara titik, garis, dan sudut. Di antara sekian banyak konsep yang mendefinisikan hubungan ini, gagasan mengenai sifat isogonal memegang peranan sentral. Kata isogonal, berasal dari bahasa Yunani, secara harfiah berarti ‘sudut yang sama’. Konsep ini adalah fondasi bagi salah satu transformasi paling fundamental dalam studi pusat-pusat segitiga: transformasi konjugasi isogonal.
Konjugasi isogonal bukan sekadar abstraksi matematis; ia adalah mekanisme yang mengikat pasangan titik istimewa dalam sebuah segitiga. Transformasi ini membalikkan garis-garis yang menghubungkan titik tersebut dengan simpul-simpul segitiga melalui garis-garis bagi sudut (bisector) internal. Dengan memahami isogonalitas, kita dapat mengungkap hubungan mendalam antara pusat-pusat geometris yang paling terkenal, seperti orthocenter, circumcenter, centroid, dan Symmedian point.
Artikel ini akan menyajikan eksplorasi yang menyeluruh dan mendalam mengenai konsep isogonal. Dimulai dari definisi dasar dan prinsip simetri sudut, kita akan melangkah maju menuju pembahasan koordinat trilinier—sebuah alat yang esensial untuk memformalkan konjugasi isogonal—dan mengakhiri dengan analisis mendalam mengenai pasangan titik istimewa yang dihasilkan oleh transformasi ini. Tujuannya adalah membangun pemahaman yang kokoh, mendetail, dan sistematis mengenai salah satu pilar utama geometri segitiga modern.
Ambil sebuah segitiga $ABC$ dan perhatikan salah satu simpulnya, katakanlah simpul $A$. Garis bagi sudut internal $AD$ membagi sudut $\angle BAC$ menjadi dua sudut yang sama. Konsep isogonalitas beroperasi pada prinsip simetri relatif terhadap garis bagi sudut ini. Jika kita memiliki dua garis, $AP$ dan $AQ$, yang berasal dari simpul $A$ dan menuju ke titik-titik $P$ dan $Q$ di bidang segitiga, maka garis-garis ini dikatakan konjugasi isogonal jika mereka simetris terhadap garis bagi sudut $AD$.
Secara formal, $AP$ dan $AQ$ adalah garis konjugasi isogonal jika besar sudut yang dibentuk $AP$ dengan sisi $AB$ sama dengan besar sudut yang dibentuk $AQ$ dengan sisi $AC$. Lebih ringkasnya, kita memerlukan:
$\angle PAB = \angle QAC$
Prinsip simetri ini harus berlaku untuk ketiga simpul segitiga ($A, B, C$) secara bersamaan agar dua titik $P$ dan $Q$ dapat disebut konjugasi isogonal satu sama lain. Jika $P$ dan $Q$ adalah dua titik di bidang segitiga sehingga garis $AP$ dan $AQ$ konjugasi isogonal relatif terhadap $A$, garis $BP$ dan $BQ$ konjugasi isogonal relatif terhadap $B$, dan garis $CP$ dan $CQ$ konjugasi isogonal relatif terhadap $C$, maka $Q$ disebut konjugasi isogonal dari $P$, dan dilambangkan sebagai $P^*$.
Penting untuk dicatat bahwa transformasi konjugasi isogonal adalah involutori, yang berarti $(P^*)^* = P$. Jika $Q$ adalah konjugasi isogonal dari $P$, maka $P$ juga merupakan konjugasi isogonal dari $Q$.
Pertanyaan mendasar adalah: apakah konjugasi isogonal selalu ada untuk setiap titik $P$ yang tidak terletak pada sisi segitiga? Jawabannya, yang merupakan teorema kunci dalam geometri isogonal, adalah ya. Jika kita memulai dengan titik $P$, dan mendefinisikan $Q$ sedemikian rupa sehingga $AP$ dan $AQ$ adalah konjugasi isogonal, dan $BP$ dan $BQ$ adalah konjugasi isogonal, maka secara otomatis $CP$ dan $CQ$ juga akan menjadi konjugasi isogonal.
Pembuktian teorema ini seringkali melibatkan aplikasi Teorema Ceva dan Teorema Trigonometri Ceva yang diperluas. Misalkan garis $AP, BP, CP$ adalah garis-garis Ceva (cevian) yang melalui $P$. Menurut versi trigonometri dari Teorema Ceva:
$\frac{\sin(\angle PAB)}{\sin(\angle PAC)} \cdot \frac{\sin(\angle PCB)}{\sin(\angle PCA)} \cdot \frac{\sin(\angle PBC)}{\sin(\angle PBA)} = 1$
Sekarang, misalkan $Q$ adalah titik yang didefinisikan oleh simetri sudut di $A$ dan $B$. Artinya, $\angle QAC = \angle PAB$ dan $\angle QBC = \angle PBA$. Ketika kita menerapkan ekspresi Ceva untuk titik $Q$ (dengan mengganti $\angle QAC$ dengan $\angle PAB$, dst.), ekspresi untuk $Q$ akan identik dengan ekspresi untuk $P$ karena simetri tersebut hanya menukar pasangan sinus di pembilang dan penyebut. Jika produk tersebut sama dengan 1, maka garis-garis $AQ, BQ, CQ$ haruslah konkuren (bertemu di satu titik $Q$), yang membuktikan bahwa $Q$ adalah konjugasi isogonal dari $P$ dan bahwa $P^*$ selalu ada.
Gambar 1: Ilustrasi Konjugasi Isogonal. Garis-garis yang menuju P (G) dan Q (K) adalah simetris relatif terhadap garis bagi sudut segitiga. Sudut yang dibentuk (misalnya di simpul A) oleh AP dengan AB sama dengan sudut yang dibentuk AQ dengan AC.
Untuk mempelajari konjugasi isogonal secara analitis dan formal, kita harus beralih ke sistem koordinat yang paling cocok untuk geometri segitiga: koordinat trilinier. Koordinat trilinier dari sebuah titik $P$ didefinisikan sebagai jarak berarah (signed distance) dari $P$ ke tiga sisi segitiga. Jika $a, b, c$ adalah panjang sisi yang berhadapan dengan simpul $A, B, C$, dan $x, y, z$ adalah jarak tegak lurus dari $P$ ke sisi $a, b, c$, maka $(x: y: z)$ adalah koordinat trilinier dari $P$.
Misalkan $P$ memiliki koordinat trilinier $(x: y: z)$. Jarak $x, y, z$ ini memiliki kaitan erat dengan sinus sudut yang dibentuk oleh garis $AP, BP, CP$ dengan sisi-sisi segitiga. Secara khusus, rasio antara jarak trilinier $y$ dan $z$ menentukan arah garis $AP$:
$\frac{y}{z} = \frac{\text{Area}(\triangle APC)}{\text{Area}(\triangle APB)} = \frac{b \cdot \text{jarak}(P, b)}{c \cdot \text{jarak}(P, c)} = \frac{b \cdot \sin(\angle PAC)}{c \cdot \sin(\angle PAB)}$
Dengan manipulasi trigonometri, hubungan ini dapat disederhanakan menjadi:
$\frac{y}{z} = \frac{\sin(\angle PAB)}{\sin(\angle PAC)} \cdot \frac{c}{b}$
Ini menunjukkan bagaimana rasio koordinat trilinier secara langsung berkaitan dengan rasio sinus dari sudut-sudut yang menentukan posisi garis Ceva $AP$.
Misalkan $P$ memiliki koordinat trilinier $(x: y: z)$. Kita ingin mencari koordinat trilinier $P^* = (x^*: y^*: z^*)$. Menurut definisi isogonalitas di simpul $A$, kita memiliki $\angle QAC = \angle PAB$ dan $\angle QAB = \angle PAC$. Kita dapat menulis rasio trilinier untuk $Q$ berdasarkan sudut-sudutnya:
$\frac{y^*}{z^*} = \frac{\sin(\angle QAB)}{\sin(\angle QAC)} \cdot \frac{c}{b} = \frac{\sin(\angle PAC)}{\sin(\angle PAB)} \cdot \frac{c}{b}$
Dengan membandingkan ini dengan rasio untuk $P$, kita mendapatkan:
$\frac{y^*}{z^*} = \left( \frac{z}{y} \cdot \frac{b}{c} \right) \cdot \frac{c}{b} = \frac{z}{y}$
Melalui proses yang sama pada simpul $B$ dan $C$, kita memperoleh hubungan yang sangat elegan antara koordinat trilinier $P(x: y: z)$ dan $P^*(x^*: y^*: z^*)$:
$x^* \propto 1/x$
$y^* \propto 1/y$
$z^* \propto 1/z$
Oleh karena itu, jika $P$ memiliki koordinat trilinier $(x: y: z)$, maka konjugasi isogonalnya, $P^*$, memiliki koordinat trilinier:
$P^* = (1/x : 1/y : 1/z)$
Rumus sederhana ini menunjukkan mengapa transformasi isogonal begitu sentral. Ia menghubungkan secara invers jarak tegak lurus dari titik ke sisi segitiga. Keindahan rumus ini terletak pada kesederhanaan dan universalitasnya dalam memetakan pusat-pusat segitiga.
Meskipun koordinat barisentrik $(\alpha: \beta: \gamma)$ sering digunakan dalam geometri segitiga, transformasi isogonal tidak memiliki bentuk yang sederhana dalam sistem ini. Koordinat barisentrik terhubung ke trilinier melalui panjang sisi: $x \propto \alpha/a, y \propto \beta/b, z \propto \gamma/c$.
Jika $P = (\alpha: \beta: \gamma)$, maka $P^* = (\alpha^*: \beta^*: \gamma^*)$. Karena $x \propto \alpha/a$, maka $x^* \propto a/\alpha$. Dengan demikian, transformasi dalam koordinat barisentrik menjadi lebih kompleks:
$P^* = (a^2/\alpha : b^2/\beta : c^2/\gamma)$
Meskipun rumus ini kurang elegan dibandingkan $(1/x : 1/y : 1/z)$, ia tetap merupakan representasi yang valid dan menunjukkan ketergantungan $P^*$ pada kuadrat panjang sisi, yang sering muncul dalam sifat-sifat Symmedian.
Transformasi isogonal bertanggung jawab atas hubungan antara banyak pusat segitiga yang paling terkenal. Dengan mengetahui koordinat trilinier dari salah satu pusat, kita dapat dengan mudah menentukan koordinat dan identitas konjugasinya.
Incenter (I): Pusat lingkaran dalam (lingkaran yang menyinggung ketiga sisi) terletak pada garis bagi sudut. Jaraknya ke ketiga sisi adalah sama ($r$, radius lingkaran dalam). Trilinier $I = (1: 1: 1)$.
Konjugasi isogonal $I^* = (1/1 : 1/1 : 1/1) = (1: 1: 1)$.
Kesimpulan: Incenter adalah titik yang self-konjugat. Garis-garis yang menuju incenter dari simpulnya adalah garis bagi sudut, dan garis bagi sudut secara definisi adalah simetris terhadap dirinya sendiri.
Excenter: Pusat lingkaran luar (lingkaran yang menyinggung satu sisi dan perpanjangan dua sisi lainnya) juga memiliki sifat isogonal yang menarik. Misalnya, $I_a$ (pusat lingkaran luar di sisi $a$) memiliki trilinier $(-1: 1: 1)$. $I_a$ bukanlah self-konjugat, namun konjugasinya adalah titik yang berkaitan dengan sudut luar.
Ini adalah pasangan konjugat isogonal paling klasik dan penting.
Orthocenter adalah perpotongan dari tiga garis tinggi (altitudes). Jarak tegak lurus dari $H$ ke sisi $a$ adalah $2R \cos B \cos C$, di mana $R$ adalah radius lingkaran luar. Koordinat triliniernya, yang diperoleh dari perbandingan trigonometri, adalah:
$H = (\sec A : \sec B : \sec C)$ atau $(1/\cos A : 1/\cos B : 1/\cos C)$
Circumcenter adalah perpotongan dari tiga garis bagi tegak lurus (perpendicular bisectors). Jarak tegak lurus dari $O$ ke sisi $a$ adalah $R \cos A$. Koordinat triliniernya adalah:
$O = (\cos A : \cos B : \cos C)$
Kita menerapkan transformasi isogonal pada $O = (x_O : y_O : z_O) = (\cos A : \cos B : \cos C)$:
$O^* = (1/\cos A : 1/\cos B : 1/\cos C)$
Ini persis sama dengan koordinat trilinier dari Orthocenter, $H$. Dengan demikian, Circumcenter dan Orthocenter adalah konjugasi isogonal satu sama lain. Garis yang menghubungkan simpul ke Orthocenter (garis tinggi) adalah konjugasi isogonal dari garis yang menghubungkan simpul ke Circumcenter.
Pasangan ini mungkin adalah pasangan konjugat isogonal yang paling banyak dipelajari setelah pasangan $O$ dan $H$.
Centroid (pusat massa) adalah perpotongan dari tiga garis berat (median). Jarak triliniernya berbanding terbalik dengan panjang sisinya. Koordinat barisentrik $G$ adalah $(1: 1: 1)$. Mengubah ke trilinier:
$G = (1/a : 1/b : 1/c)$
Symmedian Point ($K$) adalah titik perpotongan dari tiga garis symmedian. Garis symmedian didefinisikan sebagai garis yang merupakan konjugasi isogonal dari garis berat (median). Oleh karena itu, $K$ haruslah konjugasi isogonal dari $G$.
Untuk memverifikasi, kita terapkan transformasi isogonal pada $G(1/a : 1/b : 1/c)$:
$G^* = (1/(1/a) : 1/(1/b) : 1/(1/c)) = (a : b : c)$
Titik dengan koordinat trilinier $(a: b: c)$ adalah Symmedian Point (K). Jarak tegak lurusnya ke sisi-sisi segitiga berbanding lurus dengan panjang sisi-sisi tersebut.
Kesimpulan: Centroid dan Symmedian Point adalah konjugasi isogonal. Ini adalah definisi inti dari garis symmedian: Garis $AK$ adalah symmedian jika dan hanya jika ia adalah konjugasi isogonal dari garis berat $AG$.
Sebuah sifat penting dari konjugasi isogonal adalah hubungannya dengan lingkaran luar (circumcircle). Jika dua titik $P$ dan $Q=P^*$ berada di bidang segitiga, maka proyeksi-proyeksi (kaki-kaki garis tegak lurus) dari $P$ pada sisi-sisi segitiga terletak pada suatu lingkaran (pedal circle), dan proyeksi-proyeksi dari $Q$ juga terletak pada suatu lingkaran.
Lebih jauh, sebuah teorema klasik menyatakan: Jika empat titik terletak pada satu lingkaran (cyclic points), maka konjugasi isogonal dari keempat titik tersebut akan terletak pada sebuah garis (collinear points). Namun, formulasi yang lebih umum dan relevan adalah melalui pedal circle:
Teorema Pedal: Lingkaran pedal (pedal circle) dari $P$ dan $P^*$ adalah sama jika dan hanya jika $P$ dan $P^*$ adalah titik isogonal konjugat dari dua titik pada Garis Euler. Secara umum, lingkaran pedal dari $P$ dan $P^*$ memiliki jari-jari $R_P$ dan $R_{P^*}$.
Jika $P$ dan $P^*$ adalah konjugasi isogonal, maka mereka berbagi garis Simson yang sama hanya jika mereka terletak pada lingkaran luar. Namun, karena tidak ada titik di lingkaran luar yang memiliki konjugasi isogonal di dalam bidang segitiga (kecuali simpulnya sendiri), fokus kita beralih ke kasus khusus.
Kasus unik terjadi ketika $P$ dan $P^*$ terletak pada lingkaran luar. Jika $P$ terletak pada lingkaran luar, maka konjugasi isogonalnya, $P^*$, terletak pada garis lurus yang disebut garis Simson yang terkait dengan $P$. Namun, jika kita mengambil titik di lingkaran luar, konjugasi isogonalnya seringkali didefinisikan sebagai titik pada garis lurus di tak hingga (atau pada garis Simson, tergantung definisi yang digunakan).
Misalkan $P$ berada pada lingkaran luar $\mathcal{C}$. Jarak trilinier $x, y, z$ dari $P$ memiliki hubungan $\sum a/x = 0$. Transformasi $P^* = (1/x : 1/y : 1/z)$. Karena $x^*=1/x$, $y^*=1/y$, $z^*=1/z$, maka:
$\sum a x^* = \sum a/x = 0$
Persamaan $\sum a x^* = 0$ dalam koordinat trilinier adalah persamaan dari garis lurus pada jarak tak hingga (line at infinity). Ini berarti, konjugasi isogonal dari setiap titik yang terletak pada lingkaran luar adalah titik yang terletak pada garis di tak hingga.
Hubungan ini sangat penting untuk memahami sifat-sifat garis lurus tertentu. Misalnya, jika $P$ adalah titik yang menghasilkan garis $L$ di tak hingga, maka $L^*$ (konjugasi isogonal dari garis $L$) adalah lingkaran luar.
Transformasi isogonal juga dapat diterapkan pada garis dan kurva secara keseluruhan.
A. Garis Lurus: Jika $L$ adalah garis lurus, maka $L^*$ (tempat kedudukan konjugasi isogonal dari semua titik pada $L$) adalah kerucut (conic section) yang melewati simpul-simpul segitiga $A, B, C$. Kerucut ini disebut lingkaran isogonal (isogonal circle) dari garis $L$.
Persamaan umum garis lurus dalam trilinier adalah $lx + my + nz = 0$. Mengganti $x$ dengan $1/x^*$, $y$ dengan $1/y^*$, dan $z$ dengan $1/z^*$, kita mendapatkan:
$l/x^* + m/y^* + n/z^* = 0$
Mengalikan dengan $x^*y^*z^*$ memberikan persamaan umum kuadratik (kerucut) yang menunjukkan bahwa $L^*$ melewati $A, B, C$. Jika $L$ melewati orthocenter $H$, maka $L^*$ adalah lingkaran luar (circumcircle). Jika $L$ adalah garis Euler, $L^*$ adalah kerucut circum-Euler.
B. Kerucut: Jika $K$ adalah kerucut yang melewati $A, B, C$, maka $K^*$ (konjugasi isogonal dari $K$) adalah garis lurus.
C. Lingkaran Luar (Circumcircle): Lingkaran luar memiliki persamaan trilinier $a/x + b/y + c/z = 0$. Jika kita terapkan transformasi isogonal $x \to 1/x^*$, kita mendapatkan $a x^* + b y^* + c z^* = 0$. Ini adalah persamaan untuk garis di tak hingga. Ini mengkonfirmasi kembali bahwa konjugasi isogonal dari lingkaran luar adalah garis tak hingga, dan sebaliknya.
Karena Symmedian Point $K$ adalah konjugasi isogonal dari Centroid $G$, garis Symmedian memiliki arti geometris yang sangat penting. Analisis mendalam terhadap $K$ memberikan wawasan lebih lanjut mengenai daya ungkit transformasi isogonal.
Garis Symmedian $AK$ membagi sisi $BC$ menjadi dua segmen yang rasio kuadrat panjang sisinya berbanding terbalik dengan rasio kuadrat panjang sisi yang membentuk segmen tersebut. Garis berat $AG$ membagi sisi $BC$ menjadi dua segmen $BD$ dan $DC$ dengan rasio $BD/DC = 1$. Garis Symmedian $AK$ (sebagai konjugasi isogonal dari $AG$) membagi sisi $BC$ di titik $M'$ sedemikian rupa sehingga:
$\frac{BM'}{M'C} = \frac{c^2}{b^2}$
Sifat ini, dikombinasikan dengan Teorema Ceva, memastikan bahwa ketiga garis Symmedian bertemu di satu titik $K(a: b: c)$.
Garis Symmedian $AK$ memiliki properti yang unik terkait dengan garis-garis antiparalel. Garis-garis antiparalel terhadap sisi $BC$ didefinisikan sebagai garis $XY$ di mana $\angle AXY = \angle C$ dan $\angle AYX = \angle B$. Properti utama adalah:
Garis Symmedian membagi dua segmen garis apa pun yang antiparalel terhadap sisi segitiga yang bersangkutan.
Sebagai contoh, garis $AK$ membagi dua segmen $XY$ di mana $XY$ antiparalel terhadap $BC$. Properti ini adalah kunci yang mengarahkan pada definisi lingkaran Lemoine pertama dan kedua, yang merupakan lingkaran yang pusatnya terkait erat dengan $K$.
Titik $K$ memiliki hubungan khusus dengan Lemoine Circle (Lingkaran Lemoine). Lingkaran Lemoine Pertama didefinisikan melalui enam titik yang dihasilkan ketika tiga antiparalel yang melalui $K$ memotong sisi-sisi segitiga. Karena Symmedian membagi dua antiparalel, titik $K$ adalah pusat dari lingkaran Lemoine Pertama.
Lingkaran Lemoine Kedua dihasilkan dari tiga garis yang ditarik melalui $K$ sejajar dengan sisi-sisi segitiga. Enam titik perpotongan garis-garis ini dengan sisi-sisi segitiga juga terletak pada sebuah lingkaran, yang dikenal sebagai Lingkaran Lemoine Kedua, yang pusatnya juga adalah $K$.
Fakta bahwa $K$ berfungsi sebagai pusat bagi dua lingkaran penting yang ditentukan oleh antiparalel dan garis-garis sejajar, secara fundamental berakar pada sifatnya sebagai konjugasi isogonal dari Centroid.
Meskipun fokus utama isogonalitas berada dalam geometri segitiga, konsep ‘sudut yang sama’ meluas ke berbagai bidang matematika yang lebih umum, seperti geometri diferensial dan analisis kompleks.
Dalam geometri diferensial, terutama dalam studi persamaan diferensial, kurva isogonal adalah kurva yang memotong sekumpulan kurva lainnya pada sudut konstan. Misalkan kita memiliki keluarga kurva yang didefinisikan oleh $F(x, y, C) = 0$. Kurva ortogonal (orthogonal trajectories) memotong kurva ini pada sudut $90^{\circ}$. Kurva isogonal memperluas konsep ini, di mana sudut potongnya adalah $\alpha$ (konstan) yang bukan $90^{\circ}$.
Untuk menemukan persamaan diferensial dari kurva isogonal, kita memulai dengan persamaan diferensial dari keluarga kurva $dy/dx = f(x, y)$. Jika kurva isogonal memotong kurva asli pada sudut $\alpha$, maka kemiringan $m'$ dari kurva isogonal dan kemiringan $m$ dari kurva asli terkait oleh rumus untuk tangen perbedaan sudut:
$m' = \frac{m + \tan \alpha}{1 - m \tan \alpha}$
Mengganti $m$ dengan $f(x, y)$ dan $m'$ dengan $dy/dx$, kita mendapatkan persamaan diferensial untuk keluarga kurva isogonal. Solusi dari persamaan ini menghasilkan kurva-kurva yang mempertahankan sudut konstan $\alpha$ terhadap keluarga kurva asli. Konsep ini digunakan secara luas dalam fisika terapan, seperti dalam studi garis aliran fluida atau medan listrik.
Dalam analisis kompleks dan geometri, transformasi isogonal adalah transformasi yang mempertahankan sudut antara dua kurva yang berpotongan. Pemetaan ini lebih sering dikenal sebagai pemetaan konformal (conformal mappings).
Sebuah fungsi kompleks $w = f(z)$ adalah konformal (isogonal) pada titik $z_0$ jika ia mempertahankan besar dan orientasi sudut antara dua kurva yang melewati $z_0$ dalam domain $z$.
Teorema Konformal: Fungsi kompleks $f(z)$ yang analitik (diferensiabel dalam pengertian kompleks) pada sebuah daerah $D$, dan di mana $f'(z) \neq 0$ di $D$, adalah pemetaan konformal (isogonal) di daerah tersebut.
Kondisi $f'(z) \neq 0$ memastikan bahwa pembesaran lokal (magnification factor) adalah positif dan tidak nol, sehingga sudut tidak terdistorsi. Pemetaan konformal adalah alat fundamental dalam teori potensi, elektrostatika, dan hidrodinamika, karena ia memungkinkan transfer masalah dari domain geometris yang kompleks ke domain yang lebih sederhana (misalnya, mentransformasi bidang dengan celah menjadi bidang tanpa celah, sambil mempertahankan sifat-sifat fisika yang bergantung pada sudut, seperti aliran fluida).
Untuk mencapai tingkat kedalaman yang diperlukan dalam eksplorasi isogonalitas, kita harus membahas secara detail bagaimana transformasi isogonal berinteraksi dengan kurva spesifik dan bagaimana ia menggeneralisasi pusat-pusat yang kurang umum.
Geometri segitiga modern mengenal ribuan pusat segitiga (didaftar dalam Encyclopedia of Triangle Centers, ETC). Transformasi isogonal memetakan setiap pusat $X_n$ ke pusat lain $X_m$.
Mari kita kembali ke properti jarak. Jika $P(x, y, z)$ dan $P^*(x^*, y^*, z^*)$ adalah konjugasi isogonal, kita tahu $x \cdot x^* \propto 1$. Terdapat relasi jarak yang dikenal sebagai Teorema Casey untuk Konjugasi Isogonal, yang memberikan properti metrik:
Jika $P$ dan $P^*$ adalah konjugasi isogonal, maka produk jarak dari $P$ ke garis-garis yang melewati $P^*$ memiliki hubungan tertentu. Namun, yang lebih mendasar adalah hubungan trigonometri yang lebih kompleks.
Misalkan $d_A$ adalah jarak $AP$, $d_B$ adalah jarak $BP$, dan $d_C$ adalah jarak $CP$. Terdapat hubungan produk sinus yang konstan. Jika $P^*$ adalah konjugasi isogonal $P$, maka:
$x \cdot x^* = k_1, \quad y \cdot y^* = k_2, \quad z \cdot z^* = k_3$
Di mana $k_1, k_2, k_3$ adalah konstanta yang hanya bergantung pada simpul $A, B, C$ dan luas segitiga. Karena koordinat trilinier hanyalah rasio, kita hanya bisa mengatakan $x \cdot x^* : y \cdot y^* : z \cdot z^*$ adalah rasio yang konstan, yang merupakan kuadrat dari panjang sisi: $a^2 : b^2 : c^2$.
Artinya, titik $P$ dan $P^*$ secara metrik terhubung oleh hubungan produk jarak ke sisi-sisi segitiga:
$x \cdot x^* \propto a^2$
Relasi ini memungkinkan kita untuk mendefinisikan transformasi isogonal tanpa menggunakan konsep sudut secara eksplisit, melainkan melalui properti jarak tegak lurus dan panjang sisi.
Transformasi isogonal memainkan peran vital dalam mendefinisikan kerucut tertentu yang terkait dengan segitiga, di luar lingkaran luar dan garis tak hingga.
Ellipse Steiner (Circum-Ellipse): Ellipse Steiner adalah kerucut circum-ellipse yang melewati simpul $A, B, C$ dan berpusat di Centroid $G$. Karena ia melewati simpul-simpul, konjugasi isogonalnya, $E_S^*$, haruslah sebuah garis lurus yang melewati titik-titik $(1/x^*, 1/y^*, 1/z^*)$ yang merupakan konjugasi isogonal dari titik-titik pada elips.
Persamaan trilinier untuk Ellipse Steiner adalah:
$a^2/x + b^2/y + c^2/z = 0$
Menerapkan transformasi isogonal, kita mendapatkan $a^2 x^* + b^2 y^* + c^2 z^* = 0$. Ini adalah persamaan dari garis lurus yang melewati Titik Symmedian $K(a: b: c)$ dan juga melewati Orthocenter $H(1/\cos A : 1/\cos B : 1/\cos C)$. Garis ini dikenal sebagai Garis Lemoine (atau Garis Symmedian dari Titik). Jadi, konjugasi isogonal dari Ellipse Steiner adalah Garis Lemoine.
Fokus dari setiap kerucut yang melingkupi segitiga (circum-conic) memiliki properti isogonal yang istimewa. Jika kita mengambil kerucut umum yang melewati $A, B, C$, fokus dari kerucut ini selalu berpasangan isogonal konjugat. Misalnya, Titik Fokus dari Ellipse Steiner dikenal sebagai $X_{110}$ dan $X_{111}$. Transformasi isogonal memetakan satu fokus ke yang lain.
Ini mengarah pada Teorema yang lebih umum: Dua fokus dari setiap kerucut yang melingkupi segitiga adalah konjugasi isogonal satu sama lain.
Contoh klasik adalah Ellipse Steiner yang fokusnya adalah $X_{110}$ dan $X_{111}$. Ketika kita melakukan konjugasi isogonal pada $X_{110}$, kita mendapatkan $X_{111}$.
Pada tingkat aljabar, isogonalitas memungkinkan klasifikasi fungsi yang mendefinisikan pusat-pusat segitiga.
Pusat segitiga $P(x: y: z)$ sering didefinisikan oleh fungsi yang simetris dalam $a, b, c$ dan sudut-sudutnya $A, B, C$. Transformasi isogonal mengubah sifat simetri ini. Jika sebuah pusat $P$ memiliki koordinat trilinier yang merupakan fungsi rasional dari panjang sisi, maka konjugasi isogonalnya akan memiliki fungsi yang merupakan invers rasional.
Sebagai contoh, $G = (1/a : 1/b : 1/c)$. Fungsi triliniernya adalah $f(a, b, c) = 1/a$. $K = (a: b: c)$. Fungsi triliniernya adalah $f^*(a, b, c) = a$. Ini adalah contoh sempurna dari involusi isogonal pada tingkat fungsi yang mendasar.
Transformasi isogonal juga muncul ketika kita mencari solusi dari persamaan kuadratik yang terkait dengan titik-titik geometris. Misalnya, jika kita mencari titik $P$ yang memenuhi kondisi tertentu, dan kita menemukan dua solusi, $P_1$ dan $P_2$, seringkali $P_1$ dan $P_2$ adalah konjugasi isogonal.
Pertimbangkan Lingkaran Euler (Nine-Point Circle). Titik-titik di mana garis Euler memotong Lingkaran Euler adalah konjugasi isogonal. Meskipun titik-titik ini mungkin rumit, hubungan isogonalitas menyederhanakan klasifikasi mereka menjadi pasangan-pasangan.
Secara umum, dalam geometri segitiga, kapan pun sepasang titik muncul secara simetris dalam suatu teorema (misalnya, dua titik yang memiliki pedal circle yang sama atau dua titik yang memiliki garis Simson yang sama), sangat mungkin mereka adalah konjugasi isogonal atau terkait melalui transformasi isogonal yang lebih kompleks.
Kajian mendalam tentang isogonalitas membuktikan bahwa transformasi ini adalah jembatan yang menghubungkan hampir semua pusat segitiga fundamental. Dari simetri sudut yang sederhana hingga representasi aljabar yang rumit dalam kerucut, konsep isogonal tetap menjadi salah satu alat analitis paling kuat dan estetis dalam studi geometri klasik.
Dengan demikian, konjugasi isogonal memungkinkan kita untuk melihat struktur tersembunyi dari segitiga, mengungkapkan bagaimana titik-titik yang secara geometris berbeda (seperti Circumcenter dan Orthocenter) dapat disatukan oleh prinsip simetri yang elegan.